Международная конференция «Математические и информационные технологии, MIT-2011»
(IX конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке,
технике и образовании») № гос. регистрации 0321102644, ISBN 978-5-905569-02-9

Врнячка Баня, Сербия, 27–31 августа 2011 г.

Будва, Черногория, 31 августа – 5 сентября 2011 г.

Манин М.   Розенвассер Е.Н.  

Периодизированное характеристическое уравнение для линейной системы с запаздыванием

Докладчик: Манин М.

1. Постановка задачи.
В докладе рассматривается задача исследования устойчивости системы, представляющей собой линейное векторное дифференциальное уравнение, имеющее, в свою очередь, чистое запаздывание.
Проблема исследования устойчивости рассматриваемой системы  сводится к изучению эквивалентного ей характеристического уравнения, которое будем называть стандартным характеристическим уравнением (СХУ). Если s1,s2,...- последовательность корней СХУ, то для асимптотической устойчивости исходной системы необходимо и достаточно выполнение условия нахождения корней СХУ в замкнутой левой полуплоскости.
В качестве альтернативы нами было предложено для одноконтурной системы с запаздыванием периодизированное характеристическое уравнение (ПХУ), выраженное через переменную z. При этом, если z1,z2,...- последовательность корней ПХУ, то для асимптотической устойчивости рассматриваемой исходной системы необходимо и достаточно выполнение условия нахождения корней ПХУ вне единичной окружности.
Использование ПХУ позволяет в большинстве практических приложений свести решение задачи об устойчивости рассматриваемой системы к изучению расположения корней некоторого полинома относительно окружности.
В настоящем докладе строится ПХУ для исходной общей системы. При этом, для построения ПХУ используется аппарат теории интегральных уравнений Фредгольма II рода.

2. Общие результаты.
1) Теорема 1. При фиксированном µ для асимптотической устойчивости рассматриваемой исходной системы необходимо и достаточно, чтобы корни ПХУ находились вне единичной окружности.
Далее, при помощи теоремы 1, нами было получено преобразованное ПХУ, которое впоследствии будем называть точным.
Наряду с полученным точным ПХУ  нами рассматривается приближенное ПХУ, которое отличается от точного наличием ряда из конечного числа членов.
Теорема 2. Пусть при фиксированном СХУ не имеет корней, лежащих на мнимой оси. Тогда существует , N0>=0 такое, что при N>N0 полученное нами приближенное ПХУ не имеет корней на окружности и имеет внутри этой окружности столько же корней, сколько имеет полученное точное ПХУ.
В докладе дается конструктивная оценка числа N0, что позволяет при условии нахождения корней СХУ на мнимой оси свести задачу исследования устойчивости исходной рассматриваемой системы к исследованию расположения корней некоторого полинома относительно единичной окружности.

Файл тезисов: Тезисы статьи_на конференцию.doc
Файл с полным текстом: Статья_на конференцию.pdf


К списку докладов

© 1996-2017, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск