Bogdanov V.V.
Об условиях формосохранения при интерполяции нелокальными параболическими сплайнами класса $C^1$
При интерполяции функций, заданных своими значениями в узлах некоторой сетки возникает естественный вопрос, будет ли интерполирующая функция наследовать геометрические свойства дискретных данных, и, если будет, то в каком смысле и при каких условиях. Ранее для наиболее популярных и востребованных практикой конструкций классических кубических сплайнов класса $C^2$ в этом направлении проведено достаточно полное исследование, начало которому было положено В.Л.~Мирошниченко в первой половине 80-х годов. Им были получены удивительно простые и в то же время довольно ёмкие достаточные условия монотонности и выпуклости сплайна, выраженные в виде ограничений на разделённые разности от интерполируемой функции.
В дальнейшем задачу интерполяции, обладающую свойством формосохранения стали называть задачей $k$-монотонной интерполяции, полагая $k=0$, если требовалось гарантировать сохранение знакопостоянства данных, причём определенного знака, или полагая $k=1$, если требовалось сохранение монотонности данных определенного направления, и т.д.
Для классических кубических сплайнов метод Мирошниченко реализован максимально полно. Однако вопрос сохранения интерполянтом формы данных для произвольных функций, так чтобы на участках определенности формы данных (как то: возрастание или, наоборот, убывание; выпуклость вниз или, наоборот, вверх) кусочно наследовались соответствующие свойства, потребовал существенной модификации этого подхода. Идею такой модификации в середине 90-х годов предложил Ю.С.~Завьялов. Задачу интерполяции с кусочным сохранением формы данных стали называть $k$-комонотонной интерполяцией, где приставка «ко» характеризует формосохранение на участках определённости геометрической формы данных, соответствующей, как и выше, различным $k$.
Метод Мирошниченко позволил ему решить и вопрос описания условий формосохранения для довольно капризных (с точки зрения произвольности интерполяционных условий и условий гладкости интерполянта) нелокальных параболических сплайнов класса $C^1$. А именно, им получены достаточные условия сохранения интерполянтом монотонности или выпуклости данных. Продвигая его идею, Ю.С.~Волков и В.Т.~Шевалдин [1] получили полное описание достаточных по Мирошниченко условий $k$-монотонной интерполяции нелокальными параболическими сплайнами, построенными как по методике Ю.Н.~Субботина, так и по методике М.~Марсдена. При этом использовалось предложенное ранее Ю.С.~Волковым оригинальное представление сплайна в разложении некоторой его производной по базису из $B$-сплайнов меньшей степени.
Вопросу $k$-комонотонной интерполяции произвольных данных нелокальными параболическими сплайнами класса $C^1$ и посвящена данная работа.
Работа проводилась при частичной поддержке РФФИ, проект 15-07-07530.
ЛИТЕРАТУРА
1. Волков Ю.С., Шевалдин В.Т. Условия формосохранения при интерполяции сплайнами
второй степени по Субботину и по Марсдену // Труды Института математики и механики УрО РАН. --- 2012. --- Т.18, № 4. --- С.~145--152.
To reports list