Шалимова И.А.
Стохастический метод коллокаций для решения начально-краевых задач со случайными входными данными
Настоящая работа посвящена решению начально-краевых задач математической физики со случайными входными данными. Исследовались два класса задач: стационарное уравнение Дарси со случайным коэффициентом гидравлической проницаемости, и нестационарное уравнение диффузии, в котором распределение концентрации в нулевой момент времени определяется случайным полем заданной структуры. Проблема, возникающая при решении задач со случайными входными данными традиционными методами, - это большая трудоемкость алгоритма. Действительно, традиционный подход состоит в аппроксимации дифференциальной задачи системой линейных алгебраических уравнений и численном ее решении для большого ансамбля реализаций входящего случайного поля. Очевидно, что при вычислении различных функционалов от решения данный подход будет весьма трудоемким. В данной работе мы развиваем другой подход [1], основанный на разложении решения в полиномиальный хаос в вероятностном пространстве входных данных, коэффициенты разложения которого находятся методом стохастических коллокаций. В этом случае трудоемкость алгоритма определяется порядком приближения полиномиального хаоса и числом точек коллокаций, что может приводить к существенному повышению эффективности метода. В работе представлены примеры решения уравнений Дарси и теплопроводности со случайными коэффициентами, а также со случайными начальными распределениями. Приведены значения функционалов, подсчитанных методом Монте-Карло и стохастическим методом коллокаций, и дан сравнительный анализ этих двух методов.
Работа выполнена совместно с К.К. Сабельфельдом и О.В. Дульзон, и при финансовой поддержке Российского научного фонда, грант №14-11-00083.
ЛИТЕРАТУРА
1. I. Shalimova and K. Sabelfeld. Stochastic polynomial chaos based algorithm for solving PDS with random coefficients. Monte Carlo Methods and Applications, vol.20 (2014), issue 4, 279-289.
К списку докладов