Novosibirsk, Russia, May, 30 – June, 4, 2011

International Conference
"Modern Problems of Applied Mathematics and Mechanics: Theory, Experiment and Applications", devoted to the 90th anniversary of professor Nikolai N. Yanenko

Латыпов А.Ф.   Попик О.В.  

Определение приближенного квазирешения системы линейных интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода и линейного уравнения Фредгольма 1-го рода методом интервального осреднения

Reporter: Латыпов А.Ф.

Для решения некорректных задач, каковыми в общем случае являются интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма 1-го рода, используются методы регуляризации [1], [2]. Эти методы портят уравнения. В данной работе используется метод подбора [1], дополненный условием равенства нулю средних значений невязок уравнений на интервалах, на которые разбивается область определения квазирешения. При этом уравнения удовлетворяются также, по крайней мере, еще в одной точке внутри каждого интервала. Это условие позволяет получать квазирешение в выбранном классе функций без введения стабилизирующего функционала. Положительным фактором является также то, что операция осреднения сглаживает ошибки задания или измерения функции правой части и ядра. Получены формулы для вычисления приближенных квазирешений в классах кусочно-постоянных и кусочно-линейных функций. Предполагается, что существует хотя бы одно разбиение интервала построения квазирешения, при котором обратные матрицы в формулах не вырождены. В противном случае исходная физическая задача сформулирована, по-видимому, неверно, так как, например, в одномерном случае, если среднее значение функции на произвольных интервалах равно нулю, то функция тождественно равна нулю. Квазирешение зависит от количества интервалов N и распределения их длин hi, определяемых из решения задачи минимизации функционала среднеквадратичной невязки на всем интервале. Используемый функционал является многоэкстремальной функцией по переменным hi. Приближенное решение задачи определяется посредством алгоритма циклического покоординатного сканирования функционала в заданном числе точек с выбором лучшей точки для последовательности значений N. Данный алгоритм не обеспечивает в общем случае получение точного решения. Однако по сравнению с алгоритмами поиска локального экстремума он дает существенно меньшие значения функционала. Приводятся примеры решения тестовых задач.

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.
2. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. Киев: Наукова Думка, 1986.

Abstracts file: latypov.rar
Full text file: Latypov.pdf


To reports list
© 1996-2017, Institute of computational technologies of SB RAS, Novosibirsk