Novosibirsk, Russia, May, 30 – June, 4, 2011

International Conference
"Modern Problems of Applied Mathematics and Mechanics: Theory, Experiment and Applications", devoted to the 90th anniversary of professor Nikolai N. Yanenko

Мержиевский Л.А.   Корчагина А.Н.  

Численное моделирование распространения теплового импульса во фрактальной среде

Reporter: Корчагина А.Н.

     Для расчета распространения теплового импульса в настоящее время используется либо квазилинейное, либо гиперболическое уравнение теплопроводности. Значительное количество реальных процессов не укладываются в представления механики сплошной среды и требуют привлечения представлений о фрактальности среды, в которой эти процессы происходят. К таким процессам, например, относятся диффузия примесей в грунте, распространение тепла в высокопористых средах. Для описания таких процессов используется модифицированный соответствующим образом закон Фика [1] и математический аппарат дробного интегро-дифференциального исчисления [2]. В соответствии с этим в классическое уравнение теплопроводности (диффузии) вводятся производные дробного порядка как по пространству, так и по времени. Возникают начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными. Развиваются аналитические методы решения задач, однако наибольшее распространение получили численные методы [3,4]. Это связано, в первую очередь, с тем, что аналитические решения удается получить только в редких частных случаях. Одна из проблем, возникающих при использовании дробных производных, заключается в том, что не существует их однозначного определения. Наиболее часто используется определение Римана-Лиувилля и Капуто. Существующие численные методы решения задач для уравнений с дробными производными привязаны к виду выбранной производной, поэтому возникает необходимость анализа и сравнения результатов решения задач, полученных при использовании разных определений и численных методов. Такое сравнение проводится в данной работе на примере задачи о распространении теплового импульса.
      Таким образом, рассмотрены основные определения дробных производных Римана-Лиувилля и Капуто и соответствующие численные методы. Проведено сравнение численных решений задачи о распространении теплового импульса, полученных различными методами для разных типов дробных производных. Анализ результатов позволил выделить методы, наиболее перспективные c точки зрения адекватности описания реальных процессов распространения тепловых волн во фрактальных средах.

Работа выполнена при поддержке Интеграционного проекта СО РАН № 115.

1. Paradisi P., Cesari R., Mainardi F., Tampieri F. The fractional Fick’s law for non-local trans-port processes. Physica A, 2001, 293, P. 130 – 142.
2. С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.
3. А.А. Самарский, И.М.Соболь. Примеры численного расчета температурных волн. ЖВМиМФ, 1963, Т. 3, № 4, С. 702 – 719.
4. В.М. Головизин, В.П. Киселев, И.А. Короткин. Численные методы решения уравнения диффузии с дробной производной по времени в одномерном случае. Препринт IBRAE-2003-12, Москва: ИБРАЭ РАН, 2003.

Full text file: Корчагина-Расширенные тезисы.pdf


To reports list
© 1996-2017, Institute of computational technologies of SB RAS, Novosibirsk