|
|
О задаче идентификации функции источника в системе составного типа
В работе рассмотрены задачи идентификации функции источника для одномерной полуэволюционной системы двух уравнений в частных производных второго порядка, одно из которых является параболическим, а второе – эллиптическим. Исследованы задача Коши и первая краевая задача. Исходные задачи аппроксимируются задачами, в которых эллиптическое уравнение заменяется параболическим, содержащим малый параметр ε>0 при производной по времени. Доказаны разрешимость аппроксимирующих задач и исходной задачи в классах достаточно гладких функций.
Решения задач для полуэволюционной системы находятся как пределы решений соответствующих краевых задач для эволюционных систем при стремлении параметра ε к нулю.
Разрешимость исследуемых задач при ε>0 при условии периодичности с периодом L>0 по пространственной переменной, достаточной гладкости и выполнения условий согласования входных данных задачи доказана методом слабой аппроксимации [1,2] “в целом”. Периодичность решений доказывается расщеплением исходных задач на ряд задач, компоненты которых являются периодическими с периодом L по х и равномерно сходятся при стремлении параметра расщепления к нулю к периодическим по х с периодом L функциям, являющимся решениями аппроксимирующих задач.
Доказана оценка скорости сходимости. Рассмотрены случаи, когда находится неизвестная компонента f1 - вектор функции источника (f1, f2) при известной f2 [3], принадлежащая параболическому уравнению, и случай, когда неизвестна компонента f2 функции (f1, f2) при известной f1.
Изучению прямых задач для систем составного типа посвящены работы различных авторов [4-6]. Обратные задачи для эволюционных систем составного типа см., например, в [7-8].
1. Н.Н.Яненко, Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосибирск, Наука, 1967.
2. Ю.Я. Белов, С.А.Кантор, Метод слабой аппроксимации, Красноярск, КрасГУ, 1999.
3. Ю.Я.Белов, О задаче идентификации функции источника для одной полуэволюционной системы, Журнал Сибирского Федерального Университета. Математика и физика, 2010, 3(4), 487-499.
4. П.Е. Соболевский, В.В. Васильев, Об одной ε-аппроксимации уравнений Навье-Стокса, Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 9(1978), № 5 , 115-139.
5. Ю.Я. Белов, Теоремы однозначной разрешимости и аппроксимации некоторых краевых задач для систем уравнений, описывающих течение океана, Сиб. матем. журн.,20(1979),№ 6, 1206-1225.
6. Ж.Л. Лионс, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, Москва, 1972.
7. П.Ю. Вячеславова, Р.В. Сорокин, Задача идентификации коэффициентов при младших членах в системе составного типа, Журнал Сибирского Федерального Университет,. Математика и физика, 2(2009), № 3, 288-297.
8. A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin, Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, New York, Marcel Dekkar, Inc., 1999.
To reports list
|
