Построение решений специальных систем дифференциальных уравнений с регулярными особенностями
Изучаются алгоритмы построения решения специальной системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, где коэффициенты - аналитические функции или многочлены двух переменных.
Система имеет регулярную особенность в (0;0). Допустим, что система совместная. Для построения регулярных решений вблизи особенности (0;0) применяется метод Фробениуса-Латышевой. Решениями частных случаев являются специальные функции, в частности, функции Уиттекера двух переменных. Они играют большую роль при изучении задач прикладной математики, особенно в задачах гидро- и аэродинамики.
Для построения регулярного решения вблизи особенности (0;0), согласно методу Фробениуса-Латышевой сначала требуется построить систему характеристических функций заданной системы.
Теорема. Для того, чтобы система с регулярной особенностью имела решение в виде обобщенного степенного ряда двух переменных по возрастающим степеням вблизи особенности (0;0), необходимо, чтобы показатели степени независимых переменных были корнями системы определяющих уравнений относительно особенности (0;0).
Особые кривые системы определяются приравниванием к нулю коэффициентов при старших производных. Если коэффициенты являются многочленами, то в зависимости от формы их задания усложняется определение вида особых кривых и построение решений вблизи этих особенностей.
В настоящей работе подробно изучен случай, когда особые кривые определяются из системы двух уравнений второго порядка с двумя неизвестными.
Исследован вопрос о необходимом условии существования регулярного решения вблизи особенности на бесконечности. Сформулирован ряд теорем о необходимом и достаточном условии существования конечных решений в виде многочленов двух переменных.
To reports list
|
