International Conference
"Modern Problems of Applied Mathematics and Mechanics: Theory, Experiment and Applications", devoted to the 90th anniversary of professor Nikolai N. Yanenko

Паасонен В.И.  

О структуре компактных схем на неравномерных сетках

     Вопрос о максимально точных схемах на 9-точечных шаблонах типа ``ящик" достаточно хорошо изучен. Так, для уравнения Пуассона порядок аппроксимации схемы на квадратной сетке максимум шестой, а на равномерной прямоугольной сетке – четвертый. Также с четвертым порядком аппроксимируются уравнения математической физики в любой криволинейной ортогональной системе координат. При наличии смешанных производных аппроксимация четвертого порядка достижима только при условии пропорциональности квадратов пространственных шагов коэффициентам при вторых производных. Все сказанное выше справедливо также и в многомерном случае. На неравномерных регулярных сетках на 9-точечном шаблоне естественно ожидать падения порядка на единицу, так как в этом случае в разложении погрешности присутствуют слагаемые с нечетными степенями. Схемы повышенной точности почти для всех перечисленных случаев удается обобщить на соответствующие параболические и гиперболические уравнения второго порядка с конвективными членами.
      Вместе с тем сведения о схемах высокой точности на более широких шаблонах, чем 3-точечные в каждом координатном направлении, довольно фрагментарны. Например, известны схемы восьмого порядка точности. Имеются также отдельные исследования общего характера о числе алгебраических условий на коэффициенты схемы, записанной на произвольных шаблонах регулярной или нерегулярной сетки.
      В данной работе рассматривается класс схем любого порядка аппроксимации на неравномерной регулярной сетке для ряда уравнений с многомерным дифференциальным оператором, представляющимся в виде суммы одномерных. Схемы строятся с помощью компактных или близких к ним аппроксимаций производных. Вводится понятие ранга компактности, связанное с числом уравнений продолженной системы, проводится классификация разностных схем любого порядка аппроксимации, исследуется связь между размерами шаблона и порядком аппроксимации. Исследуется зависимость форм шаблонов разностных схем от выбора типов компактных аппроксимаций.