Рассматривается балка прямоугольного поперечного сечения. Свойства материала характеризуются диаграммой одноосного деформирования с падающим участком. Причем диаграммы растяжения и сжатия различны. Балка находится под действием изгибающего момента, реализующего чистый изгиб, и продольного растягивающего усилия. В результате имеют место только продольные напряжения и деформации, причем деформации линейно распределены по сечению балки. В силу того, что диаграммы деформирования при растяжении и сжатии обладают падающими ветвями, балка при чистом изгибе и растяжении может иметь при одних и тех же изгибающем моменте и растягивающей силе несколько возможных положений равновесия. Таким образом, возникает задача о вычислении параметров всех возможных положений равновесия.
Данная задача может быть решена с использованием метода Ньютона-Канторовича. При этом важно находить такие начальные приближения, начиная с которых метод сходится, и эти начальные приближения должны быть расположены в некоторой окрестности точки равновесия.
Уравнения равновесия рассматриваются как отображение пространства состояний (кривизна и расстояние от нейтральной оси до срединной плоскости) в пространство управлений (изгибающий момент и растягивающее усилие). Точки, в которых матрица Якоби отображения вырождена, образуют линии, разбивающие пространство состояний на ряд областей. Для заданных параметров управления предложен алгоритм выбора начального приближения из данных областей, отображение которых попадает в эпсилон -окрестность заданной точки в пространстве управлений. Затем используется метод Ньютона-Канторовича для определения параметров равновесия, который в данном случае позволяет найти все возможные равновесные состояния, как устойчивые, так и неустойчивые.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-08-00135).
| Abstracts file: | Struzhanov.doc |
| Full text file: | Struzhanov.pdf |