Международная конференция
«Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко
№ гос. регистрации 0321101160, ISBN 978-5-905569-01-2

Губарев Ю.Г.  

К длинноволновой неустойчивости стационарных плоскопараллельных течений однородной по плотности идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей в поле силы тяжести

     Изучается задача линейной устойчивости установившихся плоскопараллельных течений однородной по плотности невязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в поле силы тяжести. Энергетическим методом доказано, что для таких течений не существует достаточных условий устойчивости относительно малых плоских длинноволновых возмущений.
     Однако, ранее В.М. Тешуковым с помощью метода обобщенных характеристик были получены условия гиперболичности уравнений, описывающих распространение длинных волн по свободной границе горизонтального слоя завихренной однородной по плотности идеальной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести. При этом данные условия гиперболичности он интерпретировал именно как достаточные условия линейной устойчивости.
     Поскольку наличие или отсутствие достаточных условий устойчивости не должно зависеть от выбора того либо другого метода исследования, появляется настоятельная необходимость устранить возникшее противоречие.
     С этой целью был построен (совместно с Е.Ю. Князевой) аналитический пример стационарного плоскопараллельного течения и наложенных на него малых плоских длинноволновых возмущений в виде нормальных мод. Выяснилось, что данные возмущения под действие условий гиперболичности В.М. Тешукова не подпадают. В частности, для их роста со временем совершенно безразлично, выполняются эти условия гиперболичности как таковые или нет. Причина подобного положения дел заключается в том, что условия гиперболичности В.М. Тешукова справедливы не для всех возможных малых плоских длинноволновых возмущений, а лишь для некоторого их подкласса (к тому же, что принципиально, не являющегося самостоятельным).
     Исходя из вышеизложенного, представляется логичным, что изучение данной проблематики должно быть продолжено, причем в следующих двух главных направлениях: 1) доказательство абсолютной неустойчивости установившихся плоскопараллельных течений однородной по плотности невязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в поле силы тяжести по отношению к малым плоским длинноволновым возмущениям и 2) отыскание новых условий гиперболичности, которые выражались бы через интегралы движения и, тем самым, выделяли бы самостоятельные частные классы длинных волн.