Международная конференция
«Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко
№ гос. регистрации 0321101160, ISBN 978-5-905569-01-2

Снытников Н.В.  

Параллельный метод решения уравнения Пуассона в цилиндрических координатах для задач астрофизики

     Некоторые задачи звездной динамики и гравитационной газодинамики требуют решать трехмерное уравнение Пуассона на очень подробной сетке, чтобы иметь возможность исследовать возникновение физических неустойчивостей гравитационного и других типов и отличать их от численных шумов. Дополнительную сложность вносит нестационарность рассматриваемых процессов: уравнение Пуассона требуется решать на каждом временном шаге. Таким образом, естественным требованием к «техническим» параметрам алгоритма является возможность проведения серийных экспериментов на сетке с 10 млрд. узлов расчетной сетки и абсолютным временем счета порядка 10 секунд (при числе процессоров порядка нескольких тысяч).
     В данной работе предложен параллельный алгоритм решения уравнения Пуассона в цилиндрических координатах, наиболее подходящих для моделирования динамики галактик или протопланетных дисков. Алгоритм основан на декомпозиции области с помощью метода локальных коррекций. Сущность метода заключается в представлении искомого потенциала в виде близкодействующей части (для восстановления которой нужна очень подробная сетка) и дальнодействующей части (гладкой функции, для которой достаточно грубой сетки). Таким образом, чтобы обеспечить минимальный объем пересылок, каждый из процессоров вычисляет потенциал только в своей локальной подобласти на подробной сетке, а взаимодействует с другими процессорами, передавая данные грубой сетки (количество узлов которой много меньше).
     Для адаптации метода локальных коррекций к цилиндрическим координатам были разработаны:
- метод вычисления потенциала изолированных систем на границе «полой» цилиндрической расчетной области с помощью метода Джеймса и метода свертки;
- компактная разностная схема 4 порядка аппроксимации с краевым условием на полюсе, поставленным таким образом, что получаемая СЛАУ допускает решение прямым методом быстрого преобразования Фурье по вертикальной и угловой координатам и прогонкой по радиусу.